Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Liczby pierwsze
Słowa kluczowe
Kategoria: Teoria liczb

Zadanie ZM-1294

o zadaniu...

Publikacja w Delcie: listopad 2010
Publikacja elektroniczna: 20-12-2010

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite dodatnie $\text{[math]}$ , dla których liczba $\text{[math]}$ jest czwartą potęgą liczby pierwszej.

Rozwiązanie

Szukamy liczb całkowitych dodatnich $\text{[math]}$ oraz liczby pierwszej $\text{[math]}$ , dla których

display-math

Dla $\text{[math]}$ powyższe równanie sprowadza się do $\text{[math]}$ , co spełnione być nie może. Przyjmijmy więc bez straty ogólności, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Wtedy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ , skąd wniosek, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . A zatem $\text{[math]}$ Wobec tego $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$ .

W przypadku, gdy $\text{[math]}$ , otrzymujemy równanie $\text{[math]}$ . Bezpośrednio sprawdzamy, że równanie to nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich $\text{[math]}$ .

Z kolei z podzielności $\text{[math]}$ wynika, że $\text{[math]}$ jest dzielnikiem jednej z liczb $\text{[math]}$ lub $\text{[math]}$ , co po wykorzystaniu podzielności $\text{[math]}$ pozwala wywnioskować, że liczba $\text{[math]}$ jest dzielnikiem obu liczb $\text{[math]}$ . Wobec tego $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , gdzie liczby $\text{[math]}$ są całkowite i dodatnie. Dane równanie przybiera wtedy postać

display-math

A ponieważ $\text{[math]}$ , więc $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ . Z ostatniej równości dostajemy: $\text{[math]}$ . Stąd $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$

Bezpośrednie sprawdzenie dowodzi, że para $\text{[math]}$ spełnia warunki zadania.