Rozważmy takie losowanie par różnych komisji, że dla dowolnych dwóch par prawdopodobieństwo ich wylosowania jest jednakowe. Wylosujmy w ten sposób pewną parę komisji i oznaczmy przez liczbę wspólnych członków tej pary. Niech będzie funkcją charakterystyczną -tej osoby, czyli jeżeli -ta osoba należy do obu wylosowanych komisji oraz w przeciwnym przypadku. Funkcje oraz są zmiennymi losowymi. Ponieważ więc zachodzi równość Jednocześnie wprost z definicji wartości oczekiwanej wynika, że liczba jest w rzeczywistości prawdopodobieństwem tego, że -ta osoba należy do obu z wylosowanych komisji. Jeśli przez oznaczymy więc liczbę komisji, do których należy -ta osoba ze stowarzyszenia, to zachodzi równość

Skoro każda komisja zawiera członków, to mamy ponadto Wykorzystując nierówność między średnią arytmetyczną a kwadratową, otrzymujemy

Zmienna losowa przyjmuje wyłącznie wartości całkowite, a więc skoro jej wartość oczekiwana jest większa niż to co najmniej raz przyjmuje ona wartość nie mniejszą niż Istnieje więc para różnych komisji, która ma przynajmniej czterech wspólnych członków.