Wykażemy, że jeżeli każdy element zbioru pokolorujemy na jeden z czterech kolorów w sposób losowy, to prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym żaden rosnący -wyrazowy ciąg arytmetyczny o wyrazach z tego zbioru nie składa się z elementów o jednakowym kolorze, jest dodatnie. Zakładamy przy tym, że każdy element malujemy na dowolny z czterech kolorów z prawdopodobieństwem i że losowania są niezależne.

Ustalmy chwilowo pojedynczy -wyrazowy ciąg arytmetyczny. Jest wszystkich możliwych pokolorowań tego ciągu, z których dokładnie składają się wyłącznie z elementów o jednakowym kolorze. Prawdopodobieństwo tego, że ustalony ciąg składa się z elementów o jednakowym kolorze, wynosi zatem Oszacujmy od góry liczbę wszystkich rosnących -wyrazowych ciągów arytmetycznych o wyrazach w danym zbiorze. Każdy taki ciąg jest wyznaczony przez swój wyraz początkowy oraz różnicę Spełnione są przy tym nierówności oraz czyli Dla ustalonego istnieje więc co najwyżej ciągów, których pierwszym wyrazem jest Otrzymujemy zatem nierówność

Ponumerujmy wszystkie z rozważanych ciągów w sposób dowolny i dla oznaczmy przez zdarzenie, w którym -ty ciąg zawiera elementy wyłącznie jednego koloru. Z podstawowej własności prawdopodobieństwa (tzw. subaddytywności) otrzymujemy wówczas

Prawdopodobieństwo zdarzenia, w którym pewien ciąg pomalowany został z użyciem wyłącznie jednego koloru, jest mniejsze niż Prawdopodobieństwo dopełnienia tego zdarzenia jest więc dodatnie, co oznacza, że w pewnym kolorowaniu żaden z rozważanych ciągów nie jest jednokolorowy.