Pokażemy, że nie istnieje żądane kolorowanie liczb całkowitych, więc w szczególności nie da się pokolorować liczb rzeczywistych. (Jest to bardzo szczególny przypadek twierdzenia van der Waerdena o kolorowaniu.)

Załóżmy, że pokolorowaliśmy liczby całkowite nieujemne i liczba   jest biała. Jedna z liczb  też musi być biała. Nazwijmy ją   Wówczas liczby  i   muszą być czarne. Zatem ich średnia  musi być biała. Dostaliśmy więc trzy białe liczby  co daje sprzeczność.