Najmocniejsze twierdzenie stereometrii»Zadanie 2
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu Najmocniejsze twierdzenie stereometrii
- Publikacja w Delcie: marzec 2010
- Publikacja elektroniczna: 18-06-2010
Sfera wpisana w czworościan
jest styczna do ściany
w punkcie
a sfera dopisana do tego czworościanu jest styczna do
ściany
w punkcie
Dowieść, że jeżeli
jest
środkiem okręgu opisanego na trójkącie
to
jest punktem
przecięcia wysokości tego trójkąta.
i
będą punktami styczności sfery wpisanej
w czworościan
odpowiednio ze ścianami
i
, a
i
punktami styczności sfery dopisanej
odpowiednio z płaszczyznami
i
. Wówczas
trójkąty
i
są przystające (
przy wierzchołkach
odpowiednio przez
. Trójkąty
i
są
przystające, skąd wynika, że
(
. Niech
. Wtedy
(bo
). Jednakże
i
, więc
. Zatem
. Analogicznie
dowodzimy, że
, a to oznacza, że
jest punktem
przecięcia wysokości trójkąta
.
