Zadanie ZM-1573
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: sierpień 2018
- Publikacja elektroniczna: 31 lipca 2018
Wewnątrz kwadratu jednostkowego 
znajduje się wielokąt wypukły 
o polu większym od 
Wykazać, że wewnątrz wielokąta 
można wskazać odcinek o długości 
równoległy do boku kwadratu 
przez wszystkie wierzchołki wielokąta 
- dzielą one 
na pewną liczbę trapezów i trójkątów 
Niech 
będzie odcinkiem łączącym środki tych boków wielokąta 
które nie są równoległe do poprowadzonych prostych, a 
- wysokością 
prostopadłą do 
Wówczas![[𝒯i] = sihi](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2018/07/29/zm-1573/10x-ff85c30cb93a572ba81f1b5dc5d84dc2709e5266-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
oraz![n [𝒲] = Q [𝒯 ], i 1 i](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2018/07/29/zm-1573/12x-ff85c30cb93a572ba81f1b5dc5d84dc2709e5266-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![[ℱ]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2018/07/29/zm-1573/13x-ff85c30cb93a572ba81f1b5dc5d84dc2709e5266-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
oznacza pole figury 
Zauważmy, że gdyby każdy z odcinków 
miał długość nie większą od 
to uzyskalibyśmy nierówność![n n [𝒲] = Q sihi ⩽ 12Q hi⩽ 12, i 1 i 1](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2018/07/29/zm-1573/17x-ff85c30cb93a572ba81f1b5dc5d84dc2709e5266-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![1 [𝒲] > 2.](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2018/07/29/zm-1573/18x-ff85c30cb93a572ba81f1b5dc5d84dc2709e5266-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
Wobec tego dla pewnego 
mamy 
czyli 
zawiera odcinek o postulowanej własności.