Zadanie ZM-1512
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: listopad 2016
- Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2016
Punkty 
i 
są odpowiednio środkami boków 
i 
czworokąta wypukłego 
Odcinki 
i 
przecinają się w punkcie 
Znaleźć kres dolny i górny pola czworokąta 
przy założeniu, że pole czworokąta 
jest równe 
![|[ℱ]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/1x-9dbfe84ebf61bac61555ddb19dc430d0032fb9e1-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
oznacza pole figury 
i 
są środkami odcinków 
i 
to 
oraz 
Podobnie otrzymujemy 
oraz 
W takim razie czworokąt 
ma dwa boki równej długości i równoległe, więc jest równoległobokiem o środku 
Ponadto trójkąt 
jest obrazem trójkąta 
w jednokładności o środku 
i skali 
więc ![]=4⋅[A].[AKBND](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/15x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
Z analogicznych rozważań dla trójkątów 
i 
otrzymujemy![]+4⋅[BKL]+4⋅[C]+4⋅[DMN]=[ADB]+[BAC]+[CBD]+[DCA]=2⋅[ABCD].4L⋅[MAKN](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/18x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![N]=8⋅[KLS]. [ABCD]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/19x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![4 ⋅[BKL] = [BAC]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/20x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![-1 [KBLS] = [KBL] + [KLS] ⩽ 4 [ABCD]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/21x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![1- [KBLS] ⩾ [KLS] = 8[ABCD].](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/22x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
![8-⩽ [ABCD] 3](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/23x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-dm-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
i 
są współliniowe (wówczas ![[ABC] |](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/26x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
), a maksimum - gdy wierzchołki 
i 
są współliniowe (wówczas ![|[ABC]](/math/temat/matematyka/geometria/planimetria/zadania/2016/10/31/zm-1512/29x-89a4f3d2a354815ca7ee350824d02cb970519291-im-66,57,43-FF,FF,FF.gif)
).