Zadanie ZM-1420
o zadaniu...
- Publikacja w Delcie: maj 2014
- Publikacja elektroniczna: 01-05-2014
Dany jest odcinek
i liczba dodatnia
Wśród
trójkątów
o podstawie
i wysokości opuszczonej
z wierzchołka
długości
znaleźć taki, dla którego iloczyn
długości wszystkich trzech wysokości jest maksymalny.
o wysokości opuszczonej
z wierzchołka
długości
Oznaczmy długości wysokości
opuszczonych z wierzchołków
i
odpowiednio
przez
i
a jego pole przez
Wiemy, że
jest ustalone, to iloczyn
jest maksymalny wtedy i tylko wtedy, gdy
ma
maksymalną wartość. Oczywiście, kąt
ma maksymalną wartość
(oznaczmy ją przez
), gdy
jest wierzchołkiem trójkąta
równoramiennego o podstawie
Jeśli
to
więc rozwiązaniem jest trójkąt równoramienny
o podstawie
i wysokości
to
więc rozwiązaniem
jest trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej
(dla którego
).