Dany jest trójkąt prostokątny
o kącie prostym przy wierzchołku
Okrąg o środku w punkcie
i promieniu
przecina
bok
w punkcie
Udowodnić, że ten okrąg przystaje do
okręgu opisanego na trójkącie
wtedy i tylko wtedy, gdy
jest
środkiem
Rozwiązanie
Niech
będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie
Ponieważ trójkąt
jest równoramienny, dwusieczna
kąta
to symetralna odcinka
więc leży na niej punkt
Oznaczmy
Wówczas
a skoro
to
skąd łatwo otrzymać
Równość
jest
równoważna
czyli
A to jest
równoważne temu, że
jest połówką trójkąta równobocznego
lub że
jest środkiem