Przeciwległe boki czarnego czworokąta mają długości i oraz i

Rozważmy krawędź o długości  danego czworościanu i zawierające ją ściany. Obróćmy wokół niej jedną z tych ścian tak, aby znalazła się w tej samej płaszczyźnie, co druga, ale po przeciwnej stronie tej krawędzi.

Otrzymujemy w ten sposób fragment siatki danego czworościanu – czworokąt, którego jedną przekątną jest ; oznaczmy drugą przez  W wyjściowym czworościanie odcinek  odpowiada łamanej łączącej końce krawędzi  więc z nierówności trójkąta

Stąd i z nierówności Ptolemeusza,  Analogicznie dowodzimy pozostałych dwóch nierówności trójkąta dla odcinków o długościach

Nierówność Ptolemeusza głosi, iż suma iloczynów długości przeciwległych boków czworokąta jest większa lub równa od iloczynu długości jego przekątnych. Przykłady jej zastosowań opisano w deltoidzie 6/2009.

Oznaczmy wierzchołki czworościanu przez ; z uwagi na przemienność iloczynów  możemy przyjąć, że (Rys. 2). Na półprostych  wybierzmy takie punkty odpowiednio  aby  Punkty  nie są współliniowe, ponieważ rozważane półproste nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Trójkąty  i   są podobne, bo mają wspólny kąt przy wierzchołku  oraz

Wobec tego  czyli

Analogicznie wykazujemy, że  oraz  więc trójkąt  ma boki o żądanych długościach.