Udowodnić, że istnieje liczba
o następującej własności: jeśli
równanie
ma rozwiązanie dla pewnych liczb naturalnych
to
Uwaga
Teza zadania M 1385 oznacza, że jeśli podane równanie diofantyczne ma
rozwiązanie, to
nie może być zbyt duże. Do dziś pozostaje
otwartym problemem hipoteza Erdősa, że to równanie nie ma rozwiązań
(zob. również zadanie M 1374, Delta 1(464)/2013).
Rozwiązanie
Z nierówności między średnimi mamy
Zakładając, że
i
spełniają podane równanie, dostajemy
a stąd
co jest mniejsze niż
np. dla