Rys. 2

Dla źródła energii elektrycznej parę sygnałów stanowią napięcie elektryczne i natężenie prądu elektrycznego, które oznaczymy oraz Iloczyn tych sygnałów stanowi moc chwilową:

Na ogół zarówno jak i zależą od czasu, ale istnieje spora grupa źródeł energii, w których funkcje te są stałe w czasie (lub zmieniają się bardzo powoli) i dlatego nazywa się je źródłami napięcia (bądź prądu) stałego. Modele matematyczne takich źródeł są szczególnie proste, gdyż pomija się w nich zależność od czasu. Przykładami tego typu źródeł są ogniwa, prądnice prądu stałego, turbiny, ale również akumulatory samochodowe. Tymi ostatnimi zajmiemy się w tym artykule. Równanie opisujące akumulator, które wiąże ze sobą sygnały - napięcie oraz - natężenie prądu elektrycznego, ma postać

gdzie nazywa się "siłą elektromotoryczną" źródła, natomiast gdzie to tzw. opór wewnętrzny źródła. Równanie to na płaszczyźnie we współrzędnych przedstawia prostą przechodzącą przez ćwiartki I, II i IV wyznaczoną przez punkty o współrzędnych i (Rys. 1). Pierwszy punkt nazywa się "punktem otwarcia" źródła - przy prądzie drugi punkt to tzw. "punkt zwarcia" - przy Napięcie elektryczne akumulatora przy nazywa się napięciem otwarcia a prąd przy - prądem zwarcia

Oprócz równania linii prostej we współrzędnych występuje jeszcze jedno równanie energetyczne:

gdzie jest mocą wyprowadzaną z akumulatora. Jest to równanie hiperboli, która dla gdy akumulator się rozładowuje, przechodzi tylko przez ćwiartkę I, a dla gdy akumulator się ładuje, przez ćwiartki II i IV. Hiperbola ma wówczas dwie gałęzie, jak to widać na wykresie.

Wraz ze zmianą mocy od do otrzymuje się całą rodzinę hiperbol. O tym, jaką wartość przyjmie moc pobierana z akumulatora, decyduje czynnik zewnętrzny, czyli albo odbiornik energii, albo urządzenie ładujące źródło, przy czym własności akumulatora nakładają na możliwe wartości mocy pewne ograniczenia, których analizą się zajmiemy.

Rozpatrując proces pobierania energii z akumulatora, stawia się pytanie, kiedy moc osiąga wartość maksimum. Poszukiwanie punktu maksimum na wykresie polega na tym, aby spośród wszystkich prostokątów o bokach opierających się o prostą czyli o tym samym obwodzie, wybrać ten, który będzie miał największe pole powierzchni. Oczywiste jest, że prostokąt ten musi być kwadratem. Jest to równoważne z tym, że funkcja

osiąga maksimum w punkcie Punkt o współrzędnych

nazywa się punktem dopasowania odbiornika energii do źródła (akumulatora). Współrzędne tego punktu wyznaczają wartość mocy maksymalnej otrzymywanej z akumulatora

gdzie Zagadnienie dopasowania odbiorników do źródeł energii jest obszernym problemem technicznym i teoretycznym wymagającym zaangażowania bardziej rozwiniętego aparatu matematycznego (rachunek wariacyjny, analiza funkcjonalna). Ten problem znacznie się upraszcza i nazywa się dopasowaniem odbiornika do źródła napięcia stałego ze względu na maksimum pobieranej z niego mocy. W tym celu na rysunku 2 wyróżniamy dwa kwadraty: duży kwadrat, tzw. "otwarciowo-zwarciowy", o polu powierzchni równym "mocy otwarciowo-zwarciowej" i mały kwadrat o polu powierzchni równym ćwiartce pola dużego kwadratu, a wynoszącym Ten mały można nazwać kwadratem mocy maksymalnej, ponieważ przez jeden z jego wierzchołków przechodzi hiperbola mocy maksymalnej styczna do prostej Położone wyżej hiperbole, odpowiadające mocom nie mają punktów wspólnych z prostą napięciowo-prądową źródła, co oznacza, że akumulator nie jest w stanie dostarczyć takiej mocy. Liczba 4 staje się tym samym w teorii źródeł energii liczbą "magiczną".

Punkty przecięć prostej z hiperbolami rodziny są punktami współpracy akumulatora z odbiornikiem bądź źródłem ładowania. Prosta przecina hiperbole w dwóch punktach w ćwiartkach II i IV (ładowanie akumulatora) albo w dwóch punktach w ćwiartce I (rozładowanie), albo w jednym punkcie (dopasowanie), albo ich nie przecina, gdy Ilustruje to rozwiązanie układu równań akumulatora który sprowadza się do równania kwadratowego dla napięcia lub prądu:

gdzie - wcześniej zdefiniowane napięcie otwarcia i prąd zwarcia akumulatora, a

jest tzw. ułamkiem obciążenia źródła. Stosunek ten nie może przekroczyć wartości 1, gdyż w przeciwnym razie otrzymywalibyśmy z akumulatora więcej mocy, niż jest on w stanie dostarczyć. Matematycznie oznaczałoby to, że wyróżnik równań kwadratowych byłby ujemny i równania te nie miałyby rzeczywistych rozwiązań. Jednak dla ujemnych nie ma żadnego ograniczenia od dołu, może z wyjątkiem ograniczeń wynikających z wytrzymałości akumulatora na przeciążenie prądem lub napięciem. Ujemna wartość odpowiada procesowi ładowania akumulatora z zewnętrznego źródła energii elektrycznej.

Przyjmijmy, że (magiczne minus 4) co oznacza, że akumulator ładowany jest z mocą równą polu powierzchni dużego kwadratu otwarciowo-zwarciowego. Wówczas równania kwadratowe przyjmą wspólną postać

a to jest równanie złotego podziału! Jednym z rozwiązań tego równania jest liczba opisująca złoty podział ( - symbol Fidiasza):

Drugim rozwiązaniem równania kwadratowego jest otrzymujemy więc dwa rozwiązania, którym odpowiadają następujące wartości prądu i napięcia:

Punkty o tych współrzędnych leżą w ćwiartkach II i IV, co widać na rysunku 2 Korzystniejszą technicznie jest pierwsza para wartości ze względu na mniejszą wartość bezwzględną prądu ładowania (punkt w ćwiartce II). Zatem napięcie ładowania akumulatora powinno być takie, aby co przy daje wartość około ( "złote napięcie ładowania"). Warto zauważyć, że prąd ładowania odpowiadający "złotemu napięciu" jest dosyć duży i wynosi ( - prąd zwarcia). Nie jest to więc prąd mały, zważywszy, że prąd zwarcia płynący przez akumulator długotrwale może go uszkodzić. Badanie właściwości ładowania akumulatorów złotym napięciem bądź złotym prądem wymagałoby analizy wielu zjawisk fizykochemicznych, dynamicznych, cieplnych, itd. zachodzących w akumulatorze podczas ładowania. Autor w tym artykule nie podejmuje dyskusji na ten temat. Tutaj ograniczymy się do wyciągnięcia następującego wniosku sformułowanego w postaci twierdzenia: