Styczna do cykloidy w każdym punkcie  przechodzi przez najwyższy punkt wyznaczającego ją okręgu. Istotnie, ponieważ nie ma poślizgu, więc prędkości ruchu „obrotowego” i postępowego są równej długości, a ich wypadkowa (czyli wektor styczny) jest dwusieczną kąta między nimi.

Prosta pozioma przechodząca przez punkt  przecina okrąg w punkcie  Pionowa średnica okręgu przecina go u góry w punkcie  Z symetrii mamy  ale kąt  jako wpisany równy jest kątowi dopisanemu między cięciwą  i styczną do okręgu w   Zatem  jest dwusieczną kąta między wektorami.

---

Rozpatrzmy punkt  powstały po obrocie okręgu o kąt  Niech  będzie środkiem okręgu. Wówczas  Pionowy promień jest równoległy do  i tworzy ze styczną ten sam kąt co  a więc ten sam co  co kończy dowód.