Zadanie

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Termodynamika

Klub 44F - zadania XI 2011»Zadanie 527

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44F - zadania XI 2011
Publikacja w Delcie: listopad 2011
Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2011
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (62 KB)

Lodówka pobiera ciepło od ciała $\text{[math]}$ o temperaturze $\text{[math]}$ i oddaje ciepło otoczeniu o temperaturze $\text{[math]}$ , działając na następującej zasadzie. Naczynie o stałej objętości początkowo zawiera powietrze atmosferyczne o temperaturze $\text{[math]}$ i ciśnieniu $\text{[math]}$ Pa, następnie przy zachowaniu doskonałej izolacji termicznej pompa próżniowa obniża ciśnienie w naczyniu do osiągnięcia temperatury $\text{[math]}$ Dalej odpompowuje się powietrze aż do stanu bliskiego próżni, przy czym temperatura pozostaje równa $\text{[math]}$ wskutek pobierania ciepła od $\text{[math]}$ Następnie naczynie jest ponownie napełniane powietrzem atmosferycznym i cykl się powtarza. Ile wynosi minimalna wartość pracy pompy niezbędnej do odprowadzenia 1 J ciepła od $\text{[math]}$ ?

Uwaga

Pompa zawiera niewielki cylinder pozostający stale w temperaturze $\text{[math]}$ i tłok. Otwarcie zaworu łączącego cylinder z naczyniem następuje w chwili dojścia tłoka „do końca” (objętość cylindra równa zeru), po osiągnięciu przez tłok położenia przeciwnego następuje zamknięcie tego zaworu, a po cofnięciu tłoka do położenia, w którym powietrze pobrane z naczynia zostanie sprężone do ciśnienia $\text{[math]}$ następuje otwarcie zaworu umożliwiającego odprowadzenie na zewnątrz sprężonej partii gazu. Ten zawór zostaje zamknięty tuż przed otwarciem pierwszego. Na każdy cykl przemian w naczyniu próżniowym przypada wiele cykli pracy pompy. Powietrze należy uważać za gaz doskonały o cieple molowym $\text{[math]}$ równym (5/2)R.

Rozwiązanie

Oznaczmy symbolami $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ początkową liczbę moli powietrza w naczyniu oraz liczbę moli w chwili osiągnięcia temperatury $\text{[math]}$ Z równania adiabaty w zmiennych $\text{[math]}$ – $\text{[math]}$

display-math

gdzie $\text{[math]}$ po przekształceniach znajdujemy $\text{[math]}$

display-math

Wyznaczymy teraz pracę pompy próżniowej przy odpompowaniu niewielkiej ilości powietrza $\text{[math]}$ przy założeniu, że ciśnienie w naczyniu pozostaje w przybliżeniu stałe i równe $\text{[math]}$ Jeśli objętość cylindra pompy jest równa $\text{[math]}$ (zgodnie z podanym założeniem $\text{[math]}$ jest znacznie mniejsze od objętości naczynia), to wejdzie do niego $\text{[math]}$ moli powietrza, a praca przeciw sile parcia z zewnątrz wyniesie $\text{[math]}$ Sprężanie powietrza w cylindrze zachodzi izotermicznie, zatem praca

display-math

gdzie dolna granica całki odpowiada zerowaniu się wyrażenia podcałkowego. Praca całkowita jest różnicą $\text{[math]}$ i okazuje się równa

display-math

Podczas odpompowania adiabatycznego ciśnienie $\text{[math]}$ zależy od liczby moli $\text{[math]}$ pozostałej w naczyniu wg równania $\text{[math]}$ i w wyniku całkowania otrzymujemy

display-math

Dla odpompowania izotermicznego zależność $\text{[math]}$ ma postać $\text{[math]}$ i całkowanie daje wynik

display-math

Pozostaje obliczenie ciepła pobranego podczas odpompowania izotermicznego. W „zwykłej” przemianie izotermicznej (tzn. gdy $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ jest zmienną) ciepło to jest równe

display-math

Tutaj zamiast zmiany objętości należy wprowadzić zmianę liczby moli $\text{[math]}$ która jest równoważna $\text{[math]}$ o ile $\text{[math]}$ Dlatego $\text{[math]}$ a jeśli stanem końcowym jest próżnia, to $\text{[math]}$ Szukany iloraz

display-math

dla danych $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przyjmuje wartość 1,48, co można porównać z

display-math

dla cyklu Carnota. Głównym powodem tej dużej rozbieżności jest nieodwracalność wpuszczenia powietrza atmosferycznego do opróżnionego naczynia – gdyby wykorzystać pracę ciśnienia atmosferycznego w tej fazie (odjąć ją od $\text{[math]}$ ), to wartość $\text{[math]}$ zmalałaby do 0,109.