Delta mi!

Liczba rozpadów jądra, jak każdy typ rozpadu, opisywana jest równaniem zawierającym wszystkie rodzaje procesów rozpadu. W przypadku U:

gdzie oznacza liczbę jąder atomowych w próbce, a stałe i dotyczą, odpowiednio, rozszczepienia i rozpadu Dla każdego z procesów wartość odpowiadającej mu stałej jest odwrotnością czasu połowicznego zaniku pomnożoną przez Z uwagi na ogromną wartość liczby Avogadro i niewielką liczbę zaobserwowanych rozpadów - co oznacza bardzo duży czas zaniku - możemy przyjąć, że liczba rozpadów Otrzymujemy dla rozszczepienia:

Podstawiając oraz 1 godzina to 1 rok/ otrzymujemy lat. W tym samym czasie 1 godziny w próbce zajdzie około rozpadów

Czas życia stanu ogranicza dokładność z jaką można wyznaczyć jego energię:

Masa spoczynkowa cząstki równoważna jest energii Tym samym masę spoczynkową cząstki o czasie życia można wyznaczyć z dokładnością

Dla oszacowanie to daje

Długość fali de Broglie'a elektronów jest dana wzorem gdzie oznacza stałą Plancka, masę elektronu, a jego prędkość. Prędkość elektronów o ładunku przyspieszanych napięciem wynosi:

dla Wewnątrz kryształu długość fali wyznaczamy zastępując wartością Współczynnik załamania wynosi więc:

a stąd

(Interpretację doświadczenia i oszacowanie podał Hans Bethe - Annalen der Physik 87, 55 (1928)).

Z informacji wynika, że objętość jądra jest proporcjonalna do liczby nukleonów, a więc średnio, na każdy nukleon przypada objętość kuli o promieniu Tym samym możemy przyjąć, że nieoznaczoność każdej ze współrzędnych nukleonu wynosi Zgodnie z zasadą nieoznaczoności dla współrzędnej mamy gdzie oznacza pęd w kierunku Analogiczne nierówności spełnione są dla współrzędnych i pędów w kierunkach i Pozwala to wyznaczyć nieoznaczoność pędu w każdym z kierunków :

Ruch nukleonu odbywa się w ograniczonym obszarze i wobec tego ma charakter oscylacyjny, co pozwala nam utożsamić nieoznaczoność pędu z jego wartością Dla energii kinetycznej ruchu nukleonu otrzymujemy:

a po podstawieniu danych liczbowych Wartość średniej energii wiązania nukleonu musi być większa od jego energii kinetycznej. Otrzymujemy oszacowanie Dla ciężkich jąder mierzona średnia energia wiązania na nukleon wynosi około

(a) Liczba elektronów równa jest, oczywiście, liczbie protonów w atomach naszego ciała. Każdy gramoatom pierwiastka to atomów. Gramoatom to liczba gramów pierwiastka równa (z bardzo dobrym przybliżeniem sumie liczb protonów i neutronów jądra atomu). Ciało człowieka zbudowane jest głównie z atomów tlenu, węgla wodoru, azotu. Poza wodorem wymienione pierwiastki występują niemal wyłącznie w postaci izotopów o równej liczbie protonów i neutronów, a więc w każdym ich gramoatomie mamy protonów. Wodór to niemal wyłącznie izotop najczęściej związany w cząsteczkach wody (stanowiącej składnik żywych komórek). W cząsteczce wody mamy 10 protonów i 8 neutronów, co oznacza, że jeśli pominiemy niewielką różnicę mas protonu i neutronu, to masy wody przypada na protony. Z dokładnością do możemy więc przyjąć, że średnio 1 g naszego ciała zawiera około g protonów, a więc około protonów i tyle samo elektronów.

(b) Stosunek liczby protonów do liczby wszystkich nukleonów w jądrze jest dla większości naturalnie występujących izotopów bliski i nieznacznie maleje ze wzrostem liczby atomowej do około 0,39 dla Wyjątek (patrz (a)) stanowi wodór, który niemal wyłącznie występuje jako izotop ale stanowi on niewielką część masy otaczających nas substancji (np. tylko 10% masy wody). Zatem dla otaczającej nas materii wynik jest taki sam, jak dla naszego ciała.

Energia fotonu odpowiadającego promieniowaniu o częstotliwości wynosi Naturalna szerokość linii widmowej odpowiada więc przedziałowi częstotliwości Fali światła o długości odpowiada częstotliwość gdzie oznacza prędkość światła. Jeśli źródło emitujące światło o częstotliwości porusza się z prędkością w kierunku odbiornika, to ze względu na zjawisko Dopplera, odbiornik zarejestruje częstotliwość różną od z dokładnością do wyrazów liniowych w Składowa prędkości termicznego ruchu atomów w kierunku odbiornika podlega rozkładowi Maxwella o gęstości:

Różnica częstotliwości emitowanej i rejestrowanej podlega więc rozkładowi który jest proporcjonalny do:

co odpowiada

Tak obliczona wartość FWHM jest równa naturalnej szerokości dla temperatury

Dla podanej linii magnezu

Energia kwantu promieniowania o długości fali  nm wynosi 12 keV, czyli około 1000 razy więcej od energii wiązania elektronu. W bilansie energii pominiemy więc energię wiązania, gdyż nie zależy ona od ruchu elektronów i może powodować niewielką zmianę długości fali rozproszonego promieniowania, ale nie rozmycie widma. Zasada zachowania energii wyraża się więc „zwykłym” równaniem

gdzie jest pędem elektronu wyrzuconego z atomu. Zasadę zachowania pędu zapiszemy natomiast w postaci jednowymiarowej

gdzie jest początkowym pędem elektronu, a minus po prawej wynika z danej wartości kąta rozproszenia kwantów Jeśli elektron krążył po pierwszej orbicie Bohra, to zależnie od zwrotu jego ruchu mamy co – jak łatwo sprawdzić – jest wielkością około trzykrotnie mniejszą od pędu fotonu. Do celów przybliżonej oceny możemy więc, podnosząc równanie stronami do kwadratu, pozostawić tylko wyraz liniowy w i po wyeliminowaniu otrzymujemy

Wyznaczając stąd warto pamiętać, że jest wielokrotnie (137-krotnie) mniejsze od a comptonowska długość fali elektronu  jest równa , czyli znacznie mniej od W wyniku przekształceń znajdujemy

Ostatni człon po prawej stronie jest szukanym rozmyciem widma promieniowania rozproszonego. Jego liczbowa wartość wynosi W porównaniu z samym zwiększeniem długości fali równym jest to wielkość mniejsza, ale nie pomijalnie mała.