Delta mi!

Poniższa opowieść była na tyle ważna dla młodego, zaledwie dwudziestoletniego, matematyka Évariste'a Galois, że poświęcił ostatni dzień przed pojedynkiem, aby spisać ją w liście do przyjaciela. Niestety, nie dostał od losu szansy na kontynuowanie swoich prac, ale jakiś czas po jego śmierci matematycy zrozumieli znaczenie jego pomysłów. Ślady teorii, z której zarysem Czytelnik zapoznać się może w dalszej części artykułu, odnaleźć można w wielu gałęziach współczesnej matematyki. Jej bezpośrednim następstwem jest wiele efektownych rozwiązań problemów, których ludzkość szukała przez setki lat: nierozwiązalność (przez pierwiastniki) równań wielomianowych stopnia 5 lub wyższego, niekonstruowalność pewnych wielokątów foremnych (cyrklem i linijką), a także niewykonalność klasycznych konstrukcji geometrycznych, czyli podwojenia sześcianu, trysekcji kąta i kwadratury koła.

W dniu naszego powrotu z Grenoble, gdzie przez dwa tygodnie pomagaliśmy miejscowej policji uporać się z problemem – z pozoru błahym, lecz o jakże przygnębiającym rozwiązaniu – znikających przydrożnych lamp gazowych, w mieszkaniu przy Baker Street 221B oczekiwał niezaniedbywalnej wielkości stos korespondencji...

Co to jest liczba pierwsza? Najkrótsza definicja mówi, że to taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki. Każda liczba naturalna ma przynajmniej dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Wyjątkiem jest jedynka, dla której te dwa dzielniki okazują się tym samym.

Każdy od czasu do czasu potrzebuje metody przekazania komuś pewnych wiadomości tak, żeby niepowołane osoby nie miały szans na ich przechwycenie. Począwszy od zabaw z kolegami na podwórku, a skończywszy na operacjach bankowych, wojskowych czy wykorzystujących dane osobowe – bez szyfrów po prostu nie da się żyć. Do zaszyfrowania danych zwykle potrzebny jest klucz – pewne słowo czy liczba, które najpierw kierują procesem tworzenia szyfru, a później pozwalają odbiorcy wiadomości ją odkodować. Osoby, które chcą porozumiewać się za pomocą szyfru, muszą najpierw uzgodnić klucz między sobą. I tu pojawia się problem: jak ustalić klucz, tak żeby nikt oprócz nas nie mógł go poznać?

Obejrzeć płaszczyznę rzutową wcale nie jest łatwo. Z bliska, kiedy widzimy tylko mały fragment, wygląda całkiem jak zwykła płaszczyzna, więc to nic ciekawego. A gdybyśmy chcieli widzieć całą naraz, to musielibyśmy umieć widzieć w przestrzeni przynajmniej czterowymiarowej, bo w naszych trzech wymiarach po prostu nie da się jej porządnie ułożyć. Jeśli nie wierzysz, Czytelniku, wykonaj dający się wziąć w rękę, krawiecki model płaszczyzny rzutowej.

Przyjmijmy, że słowem będzie dla nas dowolny ciąg liter. Nie tylko taki, który da się wymówić albo którego znaczenie jest objaśnione w słowniku. Zupełnie dowolny ciąg, złożony z jednej litery, kilku lub nawet długości całej encyklopedii.