Ustalmy zbiór 
np. 
Niech 
oznacza zbiór funkcji odwracalnych z 
w 
Funkcje z 
można składać i odwracać, nie wychodząc poza 
W zbiorze 
istnieje też funkcja identycznościowa. Tytułowe grupy są abstrakcyjnym sposobem wyrażenia powyższych własności zbioru 
Jednym z fundamentalnych pojęciem algebraicznych są pierścienie. Zostały one wprowadzone pod koniec XIX wieku z nadzieją na pomoc w udowodnieniu Wielkiego Twierdzenia Fermata. Jak wiadomo, zostało to uczynione dopiero w 1995 roku, więc przez długi czas nadzieja ta była płonna...
W tym artykule zastanawiamy się nad pytaniem kiedy szachownicę 
można pokryć prostokątami 
? Naturalna próba odpowiedzi to: szachownicę można pokryć, gdy 
dzieli długość któregoś z boków, czyli gdy 
lub 
Jasne jest, że w tym przypadku faktycznie można pokryć szachownicę. Ale czy są inne przypadki, w których istnieje pokrycie?